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EL PROBLEMA CAPCIOSO DE JaGGeR

septiembre 28, 2010

Demuestre que la funci\’on ra\’iz cuadrada definida por la rama de logaritmo $[ 0,2\pi )$ transforma las l\’ineas verticales y horizontales de $\mathbb{C} \setminus ( \mathbb{R}^+\cup\{0\} )$ en ramas de hip\’erbolas.Primero Que Nada Hagamos La Observaci\’on de Que Si Restringimos El Dominio de $z^2$ al semiplano superior, entonces, la Funci\’on Ra\’iz Cuadrada $(\sqrt{z})$ y La Funci\’on Elevar Al Cuadrado $(z^2)$ Son Inversas Una De La Otra (Esto Ya Lo Vimos, As\’i Que Echenle Coco Para Escribirlo Bonito).

En Vista De Lo Anterior, Solo Hay Que Encontrar Las Preim\’agenes De Las Rectas Horizontales y Verticales Bajo La Funci\’on $f(z)=z^2$

Escribimos una recta horizontal en el plano como los complejos de la forma , con variando y una constante, que precisamente es la parte imaginaria de todos los puntos de la recta . Es decir, Hay Que Encontrar en el semiplano superior. Tomemos pues , entonces , lo que significa que es de la forma : en otras palabras;
Como y var\’ia en , esto no impone ninguna restricci\’on sobre .Como , o bien , ya tenemos (Tres bien ! ! ! )
la condici\’on buscada, puesto que es constante, y tal igualdad nos dice que est\’an sobre
la hip\’erbola , y saben que el dibujo es una hip\’erbola equil\’atera, como deben estar en el semiplano superior,
- Si $k>0$ entonces $x,y >0$ , y nos quedamos con una rama de la hip\’erbola
- Si $k<0$ , entonces $x<0,\ y>0$ , y nos quedamos con una rama de la hip\’erbola.
Escribimos una recta vertical $\ell '$ en el plano como los complejos de la forma $c+it$ , con $t\in\mathbb{R}$ variando y $c <0$ una constante ( $c<0$ , porque la rama del logaritmo te quita la semirrecta real positiva, as\’i que las rectas verticales quedan en el semiplano izquierdo), que precisamente es la parte real de todos los puntos de la recta $\ell'$ . Es decir $\ell'=\{c+it\colon t\in\mathbb{R}\}$
Hay Que Encontrar $f^{-1}\ [\ell'\ ]=\{z \in \mathbb{C} \colon f(z) \in \ell' \}$ en el semiplano superior.
Tomemos pues $z=x+iy \in f^{-1}[\ \ell'\ ]$ , entonces $z^2=(x^2-y^2) + i (2xy) \in \ \ell'$ , lo que significa que $z^2$ es de la
forma $c+it$ :
$(x^2-y^2) + i(2xy)= c+it$
en otras palabras; $x^2-y^2=c \ ,\ \ \ 2xy=t$ .Como $2xy=t$ y $t$ var\’ia en $\mathbb{R}$ , esto no impone ninguna restricci\’on sobre $z$ .

Como $x^2-y^2=c$ , y $c<0$ es constante, ya tenemos ( Tres bien ! ! ! )
la condici\’on buscada, y tal igualdad nos dice que $x+iy$ est\’an sobre la hip\’erbola $x^2-y^2=c$ , o presentandola de forma can\’onica tenemos $y^2-x^2=\lVert c \rVert$ , y saben que el dibujo es una hip\’erbola con eje focal vertical, como los puntos que buscamos deben estar en el semiplano superior, nos quedamos solo con la rama superior de la hip\’erbola.